Théorie des corps, théorie de Galois : une introduction

Nous présentons dans ce cours la formulation moderne des idées de Galois, ainsi que la façon dont la théorie des corps a permis de résoudre des problèmes sur lesquels les mathématiciens butaient depuis des siècles : les « trois problèmes de l’Antiquité »ainsi que la résolubilité des équations de degré ≥ 5. Une vision possible des idées de Galois est la suivante : on se donne un certain nombre de règles (souvent liées à une forme de « construction ») et on dit qu’un objet est constructible si on peut l’obtenir à partir d’un objet de départ uniquement en suivant ces règles (par exemple, « les points de cet objet peuvent être construits à la règle et au compas à partir de ceux de l’objet de départ »). La question que l’on se pose est de savoir si un objet donné a été construit conformément à ces règles. La première étape consiste à traduire la notion de constructibilité par des équations. Plus précisément, on détermine la forme des équations dont doivent être solutions les points de l’objet que l’on veut construire. Partant d’un corps de base K, on se donne une équation algébrique à coefficients dans K vérifiant des propriétés bien précises fixées par un problème de ce type (par exemple, « cette équation est de degré 2 », ou encore « cette équation est de la forme X = a »), et on ajoute à K toutes les combinaisons algébriques possible des solutions de cette équation, on obtient un autre corps K1. En répétant l’opération un nombre fini n de fois, on obtient un corps Kn = L contenant K. La deuxième étape à associer à L un groupe permettant de conserver toutes les informations sur les constructions intermédiaires : c’est le rôle joué par le groupe de Galois lorsque l’extension L/K est galoisienne. Cela sous-entend que le groupe de Galois est plus facile à manipuler que la connaissance de toutes les étapes de la construction, mais qu’il permet de les retrouver. La troisième étape consiste à lire directement sur ce groupe de Galois le fait que L a été construit conformément aux règles édictées au début. Plus précisément, on veut traduire les règles précises qu’on a respectées à chaque étape en propriétés précises du groupe de Galois (par exemple « le groupe de Galois de L est abélien »). Si on n’a pas perdu d’informations tout au long du processus, dire si un objet a été construit conformément aux règles du jeu reviendra à dire si le groupe de Galois d’une certaine extension de K a bien les propriétés demandées !